razones trigonometricas

Para las Funciones Trigonométricas, 

haremos uso del Teorema de Pitágoras y trabajaremos con las Funciones

de Seno, Coseno y Tangente, y sus inversas, además de apoyarnos

siempre con la Calculadora.

    Funcion seno




Funcion coseno

Problemas Trigonometricos

1 Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos:

1 3 rad
22π/5rad.
33π/10 rad.

2 Expresa en radianes los siguientes ángulos:

1316°
2 10°
3 127º

3 Sabiendo que cos α = ¼ , y que  270º <α <360°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

4 Sabiendo que tg α = 2, y que  180º < α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

5 Sabiendo que sec α = 2, 0< α < /2, calcular las restantes razones trigonométricas.

6 Calcula las razones de los siguientes ángulos:

1225°
2 330°
3 2655°
4 −840º

7 Comprobar las identidades:

1
2
3
4
5




   


RESPUESTAS
3 rad

2 2π/5rad.

3 3π/10 rad.

Particularidades de las razones trigonometricas

 Valores de las funciones trigonometrías

La trigonometría es una rama de las matemáticas de antiguo origen, cuyo significado etimológico es "la medición de los triángulos". Se deriva del vocablo ← griego τριγωνο <trigōno> "triángulo" + μετρον <metron> "medida".[1]
La trigonometría en principio es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos. En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.
Unidades angulares
Razones Trigonométricas Recíprocas
Se definen la cosecante, la secante y la cotangente, como las razones recíprocas al seno, coseno y tangente, del siguiente modo:

• cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón recíproca de seno, o también su inverso multiplicativo:

• secante: (abreviado como sec) es la razón recíproca de coseno, o también su inverso multiplicativo:

• cotangente: (abreviado como cot o cta) es la razón recíproca de la tangente, o también su inverso multiplicativo:

Reseña historica de la trigonometria

El estudio de la Trigonometría lo inició Hiparco 150 años a. C. pero su historia se remonta a los egipcios y babilonios, primeros en medir ángulos.

Hiparco es considerado el padre de la Trigonometría por sus contribuciones tales como determinar la duración del año solar en 365 días y 6 horas, sentar las bases de la trigonometría, realizar el primer catálogo de estrellas (800) e inventar el primer astrolabio.

Tolomeo prosiguió los estudiosde Hiparco. Ordenó los conocimientos de los griegos sobre astronomía, afirma que la tierra es redonda, y entre otras cosas realizó cálculos astronómicos sin utilizar las funciones trigonométricas.

A principios del siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje. A mediados de éste siglo Isaac Newton, utilizando series infinitas, encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x.

Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler encontró la relación entre las propiedades trigonométricas y los números complejos. 

Determinacion de Volumen

1.	A un tanque que tiene la forma de un cono circular recto invertido de 4 mts. de radio y 16 mts. de altura entra agua a una razón determinada.Expresar el volumen de agua en un instante dado: a. En función de la altura h. b. En función del radio de la base x.

Solución.
En la figura aparece el cono con las dimensiones dadas y una porción del volumen en el instante determinado.

El volumen del agua en el instante determinado viene dado por:
 

1 Calcula el volumen, en centímetros cúbicos, de una habitación que tiene 5 m de largo, 40 dm de ancho y 2500 mm de alto.

 

2 Una piscina tiene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1.5 m de profundidad. Se pinta la piscina a razón de 6 € el metro cuadrado.

1 Cuánto costará pintarla.
2 Cuántos litros de agua serán necesarios para llenarla.

Area y perimetro en una circunferencia

Área

La curva denominada  circunferencia encierra en su interior una superficie. Esta superficie se llama área de la circunferencia.
Existe una fórmula muy sencilla que nos permite calcular cuál es el área encerrada dentro de la circunferencia sólo sabiendo cuando mide el radio de la circunferencia.
Llamemos r al radio de la circunferencia, entonces el área de la circunferencia será:

A=π⋅r2

Veamos un ejemplo de como podemos calcular el área de una circunferencia.

En la circunferencia de la imagen expuesta arriba se ve claramente que el área encerrada por la circunferencia es la que está en color blanco. En este caso la variable r toma el valor r=10cm. El área se calcularía de la siguiente forma:

A=π⋅r2=π⋅102=314,16 cm2

Nota 1: vemos que las unidades del parámetro r son cm. Podría ser cualquier unidad de medida, como por ejemplo cm, m, mm... u otras unidades como pulgadas, por ejemplo.
Nota 2: las unidades en que sale el área son unidades de longitud al cuadrado al haber multiplicado una distancia por si misma.

Perímetro

Dada una circunferencia, el perímetro de una circunferencia es la longitud de la curva, es decir, la distancia que caminaría una persona que empezara a caminar en un punto de la circunferencia y diera una vuelta alrededor de la circunferencia hasta llegar al punto de partida.
De igual manera que para el área, existe una expresión que nos permite saber la longitud (o perímetro) de la circunferencia sólo conociendo su radio r.
La expresión es la siguiente:

P=2⋅π⋅r

Veámoslo más claro con un ejemplo:
Tomemos la circunferencia del ejemplo anterior, que volvemos a representar a continuación:

De nuevo el parámetro r es r=10 cm.
Aplicando la fórmula explicada anteriormente se obtiene:

P=2⋅π⋅r=2⋅π⋅10=62,83 cm

Por tanto, el resultado es que el perímetro vale 62,83 cm

Teoremas de angulos dentro de la circunferencia

Teorema 1. La suma de los ángulos de cualquier triángulo e menor de 2d.
Examinemos primeramente eL triángulo rectángulo ABC (figura 30). Sus lados a , b , c se exponen, respectivamente, en forma de un segmento de la perpendicular euclidiana a la recta u , de un arco de la circunferencia euclidiana con el centro M y de un arco de la circunferencia euclidiana con el centro N . El ángulo C es recto. El ángulo A es igual al ángulo entre las tangentes de las circunferencias b y c en el punto A o, lo que es lo mismo, al ángulo entre los radios NA y MA de estas circunferencias. Por último, ∠ B = ∠ BNM.



Figura 30
Construyamos en el segmento BM , como en el diámetro, la circunferencia euclidiana q ; ésta tiene sólo un punto común B con la circunferencia c , pues su diámetro es el radio de dicha circunferencia. Por esto el punto A se encuentra fuera del círculo limitado por la circunferencia q y, por consiguiente,

∠ A = ∠ MAN < ∠ MBN .

De aquí, en virtud de la igualdad ∠ MBN + ∠ B = d , tenemos:

∠ A + ∠ B < d ; (9)

por eso ∠ A + ∠ B + ∠ C < 2 d , que es lo que se quería demostrar. Señalaremos que, con ayuda del correspondiente movimiento hiperbólico, cualquier triángulo rectángulo se puede situar de tal manera que uno de sus catetos pertenezca a la perpendicular euclidiana a la recta u ; de esta manera, el método de deducción de la desigualdad (9) que utilizamos es aplicable a cualquier triángulo rectángulo.
Si se trata de un triángulo oblicuángulo, se divide éste mediante una de sus alturas en dos triángulos rectángulos. La suma de los ángulos agudos de estos triángulos rectángulos es igual a la suma de los ángulos del triángulo oblicuángulo dado. De aquí, tomando en consideración la desigualdad (9), se deduce que el teorema es válido para cualquier triángulo.

Teorema 2 . La suma de los ángulos del cuadrilátero es menor de 4d.
Para la demostración es suficiente dividir diagonalmente el cuadrilátero en dos triángulos.

Teorema 3 . Dos rectas divergentes tienen una, y solamente una, perpendicular común
Supongamos que una de las rectas divergentes dadas se expone en la carta τ en forma de la perpendicular euclidiana p a la recta u en el punto M , la otra se expone en forma de la semicircunferencia euclidiana q con el centro en u y, además, p y q no tienen puntos comunes (figura 31).


Figura 31
Semejante disposición de dos rectas hiperbólicas divergentes en la carta τ siempre puede ser alcanzada mediante el correspondiente movimiento hiperbólico.
Tracemos desde M la tangente euclidiana MM a q y, con el radio MN , describamos desde el centro M la semicircunferencia m . Es obvio que m es una recta hiperbólica que corta tanto p como q en un ángulo recto. Por consiguiente, m representa en la carta la perpendicular común a las rectas divergentes dadas, que es la que buscamos. Dos rectas divergentes no pueden tener dos perpendiculares comunes pues, de lo contrario, existiría un cuadrilátero con cuatro ángulos rectos, cosa que contradice al teorema 2.

Teorema 4. La proyección rectangular del lado de un ángulo agudo sobre el otro lado es unsegmento (y no una semirrecta como lo es en la geometría de Euclides).


Figura 32
La justeza del teorema es evidente de la figura 32, donde el segmento AB es la proyección rectangular del lado AB del ángulo agudo BAC sobre su lado AC .
En esta misma figura, el arco DE de la circunferencia euclidiana con el centro en M es la perpendicular a la recta hiperbólica AC . Esta perpendicular no se corta con la oblicua AB . Por lo tanto, la suposición que la perpendicular y la oblicua a una misma recta siempre se cortan contradice al axioma del paralelismo de Lobachevski, y es equivalente al axioma del paralelismo de Euclides.

Teorema 5 . Si los tres ángulos del triángulo ABC son iguales, respectivamente, a los tresángulos del triángulo A'B'C', dichos triángulos son iguales.
Admitamos lo contrario y tracemos respectivamente en los rayos AB y AC los segmentos AB ₁ = A'B ', AC ₁ = A'C' . Es evidente que los triángulos AB ₁ C ₁ y A'B'C' son iguales por dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. El punto B ₁ no coincide con B , el punto C ₁ no coincide con C , ya que en cualquier de estos casos tendría lugar la igualdad de los triángulos dados, cosa que contradice a lo admitido.


Figuras 33 y 34
Examinemos las posibilidades siguientes.

1. El punto B ₁ se encuentra entre A y B , y C ₁ se encuentra entre A y C (figura 33; en esta figura, y también en la siguiente, las recias hiperbólicasse exponen convencionalmente en forma de rectas euclidianas). No es difícilconvencerse que la suma de los ángulos del cuadrilátero BCC ₁ B ₁ es igual a 4 d , cosa imposible en virtud del teorema 2.
   
2. El punto B ₁ se encuentra entre A y B , y C se encuentra entre A y C ₁ (figura 34). Designemos por D el punto de intersección de los segmentos BC y B ₁ C ₁ . Puesto que ∠ C = ∠ C ' y ∠ C '= ∠ C ₁ , resulta que ∠ C = lo que es imposible, ya que el ángulo C es externo respecto al triángulo CC ₁ D
   

De manera análoga se enfocan también otros casos posibles.
El teorema ha sido demostrado pues la admisión que hicimos nos condujo a una contradicción.
Del teorema 5 se deduce que en la geometría de Lobachevski no existe un triángulo semejante al triángulo dado que no sea igual a éste.