Conceptos elementales de Probabilidad

Experimento aleatorio: conjunto de pruebas cuyos resultados están determinados únicamente por el azar.

Espacio muestral: conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio

Punto muestral o suceso elemental: el resultado de una sola prueba de un experimento muestral

Suceso o evento: cualquier subconjunto de puntos muestrales

Sucesos mutuamente excluyentes: sucesos o eventos que no pueden ocurrir simultaneamente .

Sucesos complementarios: dos sucesos o eventos mutuamente excluyentes cuya unión es el espacio muestral

Sucesos independientes: sucesos o eventos que no tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro

Sucesos dependientes: sucesos o eventos que sí tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno sí afecta la ocurrencia del otro.

EJEMPLO: Se lanza un dado.

a) Encontrar el espacio muestral. Solución: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

b) Enumerar los puntos muestrales. Solución: Hay seis puntos muestrales: {1},{2},{3},{4},{5} y {6}.

c) Poner dos ejemplos de eventos. Solución: evento A = {resultado es impar} = {1, 3, 5}; evento B = {resultado es mayor que 2} = {3, 4, 5, 6}

d) ¿Son mutuamente excluyentes los siguientes eventos? A = {resultado menor o igual a 4}, B = {resultado es primo}. Solución: A = {1, 2, 3, 4} y B = {2, 3, 5} sí tienen dos puntos en común, 2 y 3. Por lo tanto, no son mutuamente excluyentes.

e) ¿Cuál suceso es complementario a M = {2, 6}? Solución: {1, 3, 4, 5}.

f) ¿Son dependientes o independientes los siguientes eventos? A = {obtener un 2 un el primer lanzamiento}, B = {obtener un 4 en el segundo lanzamiento}. Solución: Son independientes, porque obtener o no un 2 en el primer lanzamiento no afecta el resultado del segundo lanzamiento. 

EJERCICIOS:

Se lanzan tres monedas y se anota el número de caras.

1) Encontrar el espacio muestral

2) Ejemplificar dos puntos muestrales

3) Ejemplificar un evento con tres puntos muestrales

4) ¿Son mutuamente excluyentes los siguientes eventos? A = {1, 2}, B = {0}

5) ¿Cuál suceso es complementario a P = {3}?

6) ¿Son dependientes o independientes los siguientes eventos?
    A = obtener un 1 en un lanzamiento, B = obtener un 3 en el siguiente lanzamiento.

Una bolsa opaca tiene tres bolas rojas y dos bolas amarillas, todas idénticas a excepción del color. Se saca una bola al azar y luego otra bola al azar, anotando el color de cada bola.

7) Encontrar el espacio muestral

8) Ejemplificar dos puntos muestrales

9) Ejemplificar un evento con dos puntos muestrales

10) ¿Son mutuamente excluyentes los siguientes eventos? A = {RA, AA}, B = {RR, RA}

11) ¿Cuál suceso es complementario a P = {RR}?

12) ¿Son dependientes o independientes los siguientes eventos?:
      A = {obtener una bola roja en primer lugar}, B = {obtener una bola amarilla en segundo lugar}.

Aplicacion de la Estadistica Elemental

1. MEDIA

Es la medida de posición central más utilizada, la más conocida y la más sencilla de calcular, debido principalmente a que sus ecuaciones se prestan para el manejo algebraico, lo cual la hace de gran utilidad. Su principal desventaja radica en su sensibilidad al cambio de uno de sus valores o a los valores extremos demasiado grandes o pequeños. La media se define como la suma de todos los valores observados, dividido por el número total de observaciones.

 
Donde (m) representa la media, (N) representa el tamaño de la población y (Xi) representa cada uno de los valores de la población. Ya que en la mayoría de los casos se trabajan con muestras de la población todas las ecuaciones que se presenten a continuación serán representativas para las muestras. La media aritmética para una muestra esta determinada como

Cuando los valores representan una población la ecuación se define como:

 

 

La estadística descriptiva es una ciencia que analiza series de datos (por ejemplo, edad de una población, altura de los estudiantes de una escuela, temperatura en los meses de verano, etc) y trata de extraer conclusiones sobre el comportamiento de estas variables.
Las variables pueden ser de dos tipos:

Variables cualitativas o atributos: no se pueden medir numéricamente (por ejemplo: nacionalidad, color de la piel, sexo).
Variables cuantitativas: tienen valor numérico (edad, precio de un producto, ingresos anuales).

Las variables también se pueden clasificar en:

Variables unidimensionales: sólo recogen información sobre una característica (por ejemplo: edad de los alunmos de una clase).
Variables bidimensionales: recogen información sobre dos características de la población (por ejemplo: edad y altura de los alumnos de una clase).
Variables pluridimensionales: recogen información sobre tres o más características (por ejemplo: edad, altura y peso de los alumnos de una clase).

Por su parte, las variables cuantitativas se pueden clasificar en discretas y continuas:

Discretas: sólo pueden tomar valores enteros (1, 2, 8, -4, etc.). Por ejemplo: número de hermanos (puede ser 1, 2, 3....,etc, pero, por ejemplo, nunca podrá ser 3,45).
Continuas: pueden tomar cualquier valor real dentro de un intervalo. Por ejemplo, la velocidad de un vehículo puede ser 80,3 km/h, 94,57 km/h...etc.

Las medidas de posición son de dos tipos:

a) Medidas de posición central: informan sobre los valores medios de la serie de datos.
b) Medidas de posición no centrales: informan de como se distribuye el resto de los valores de la serie.

a) Medidas de posición central
Las principales medidas de posición central son las siguientes:

1.- Media: es el valor medio ponderado de la serie de datos. Se pueden calcular diversos tipos de media, siendo las más utilizadas:

a) Media aritmética: se calcula multiplicando cada valor por el número de veces que se repite. La suma de todos estos productos se divide por el total de datos de la muestra:

Xm =	(X1 * n1) + (X2 * n2) + (X3 * n3) + .....+ (Xn-1 * nn-1) + (Xn * nn)
	---------------------------------------------------------------------------------------
	n

b) Media geométrica: se eleva cada valor al número de veces que se ha repetido. Se multiplican todo estos resultados y al producto fiinal se le calcula la raíz "n" (siendo "n" el total de datos de la muestra).

Según el tipo de datos que se analice será más apropiado utilizar la media aritmética o la media geométrica.

2.- Mediana: es el valor de la serie de datos que se sitúa justamente en el centro de la muestra (un 50% de valores son inferiores y otro 50% son superiores).
No presentan el problema de estar influido por los valores extremos, pero en cambio no utiliza en su cálculo toda la información de la serie de datos (no pondera cada valor por el número de veces que se ha repetido).
3.- Moda: es el valor que más se repite en la muestra.

1.- Media aritmética:

Xm =	(1,20*1) + (1,21*4) + (1,22 * 4) + (1,23 * 2) + ......... + (1,29 * 3) + (1,30 * 3)
	--------------------------------------------------------------------------------------------------
	30

Luego:

Xm =

1,253

Por lo tanto, la estatura media de este grupo de alumnos es de 1,253 cm.

2.- Media geométrica:

X =	((1,20^ 1) * (1,21^4) * (1,22^ 4) * .....* (1,29^3)* (1,30^3)) ^ (1/30)

Luego:

Xm =

1,253

En este ejemplo la media aritmética y la media geométrica coinciden, pero no tiene siempre por qué ser así.
3.- Mediana:
La mediana de esta muestra es 1,26 cm, ya que por debajo está el 50% de los valores y por arriba el otro 50%. Esto se puede ver al analizar la columna de frecuencias relativas acumuladas.
En este ejemplo, como el valor 1,26 se repite en 3 ocasiones, la media se situaría exactamente entre el primer y el segundo valor de este grupo, ya que entre estos dos valores se encuentra la división entre el 50% inferior y el 50% superior.
4.- Moda:
Hay 3 valores que se repiten en 4 ocasiones: el 1,21, el 1,22 y el 1,28, por lo tanto esta seria cuenta con 3 modas.

Medidas de posición no centrales
Las medidas de posición no centrales permiten conocer otros puntos característicos de la distribución que no son los valores centrales. Entre otros indicadores, se suelen utilizar una serie de valores que dividen la muestra en tramos iguales:

Cuartiles: son 3 valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma creciente o decreciente, en cuatro tramos iguales, en los que cada uno de ellos concentra el 25% de los resultados.
Deciles: son 9 valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma creciente o decreciente, en diez tramos iguales, en los que cada uno de ellos concentra el 10% de los resultados.
Percentiles: son 99 valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma creciente o decreciente, en cien tramos iguales, en los que cada uno de ellos concentra el 1% de los resultados.

Existen diversas medidas de dispersión, entre las más utilizadas podemos destacar las siguientes:

1.- Rango: mide la amplitud de los valores de la muestra y se calcula por diferencia entre el valor más elevado y el valor más bajo.
2.- Varianza: Mide la distancia existente entre los valores de la serie y la media. Se calcula como sumatorio de las difrencias al cuadrado entre cada valor y la media, multiplicadas por el número de veces que se ha repetido cada valor. El sumatorio obtenido se divide por el tamaño de la muestra.

La varianza siempre será mayor que cero. Mientras más se aproxima a cero, más concentrados están los valores de la serie alrededor de la media. Por el contrario, mientras mayor sea la varianza, más dispersos están.

3.- Desviación típica: Se calcula como raíz cuadrada de la varianza.
4.- Coeficiente de varización de Pearson: se calcula como cociente entre la desviación típica y la media.

PROBLEMAS :
1º  Un consultor de dirección ha encontrado que la cantidad de tiempo que invierten diariamente los ejecutivos en realizar tareas que con la misma eficacia podrían realizar sus subordinados se ajusta convenientemente a una distribución normal. Ha comprobado, además, que el 10 % de los ejecutivos invierten en esas tareas más de 3’5 horas, y que el 17’62 % invierten menos de 1’6 horas.
(a) ¿Qué proporción de ejecutivos invierten entre 2 y 3 horas en esas tareas?
(b) Si se tomaran 10 ejecutivos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que a lo sumo uno de ellos emplee más de 3’26 horas en estas labores?




2º A una ventanilla de una oficina de la Agencia Tributaria llegan aproximadamente 7  personas por hora. Generalmente, si acuden a la ventanilla más de 5 personas en una hora, se forma cola.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que se forme cola en una ventanilla en una hora determinada?
(b) Si en la oficina considerada hay 10 ventanillas, ¿cuál es la probabilidad de que en una hora se forme cola en más de 7 ventanillas?
(c) Si la Agencia Tributaria posee 210 oficinas (con 10 ventanillas cada una) en todo el país, ¿cuál es la probabilidad de que en una determinada hora haya al menos 1500 ventanillas con cola?





3º Un proveedor de cerraduras de puertas blindadas envía las piezas en lotes de 100 cerraduras a las fábricas que se dedican a la producción y comercialización de tales puertas. Como consecuencia de fallos en el proceso de fabricación, el proveedor se encontró con una serie de cerraduras defectuosas; pero, para evitar las pérdidas que se producirían si retira estas  piezas, decidió introducir 5 cerraduras defectuosas en cada uno de los lotes con la esperanza de que pasaran desapercibidas por los controles de calidad que realizan sus clientes, que consisten en seleccionar dos cerraduras al azar de un lote, de manera que, si ninguna presenta defectos, el lote será aceptado por la fábrica, y en caso contrario, será devuelto al proveedor.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que en el control de calidad de un lote se encuentre al menos una cerradura defectuosa?
(b) Si 51 clientes del proveedor han recibido un lote de cerraduras, ¿cuál es la probabilidad de que devuelvan el lote recibido menos de 4 clientes?       

Problemas de la ley de cosenos

2)

Desde lo alto de un globo se observa un pueblo A con un ángulo de 50º, y otro B, situado al otro

lado y en línea recta, con un ángulo de 60º. Sabiendo que el globo se encuentra a una distancia de 6

kilómetros del pueblo A y a 4 del pueblo B, calcula la distancia entre los pueblos A y B.

3)

Los flancos de un triángulo forman un ángulo de 80º con la base. Si el triángulo tiene 30

centímetros de base, calcula la longitud de sus lados.

4)

Tres amigos se sitúan en un campo de fútbol. Entre Alberto y Berto hay 25 metros, y entre Berto

y Camilo, 12 metros. El ángulo formado en la esquina de Camilo es de 20º. Calcula la distancia

entre Alberto y Camilo.

5)

Una valla cuyo perímetro tiene forma triangular mide 20 metros en su lado mayor, 6 metros en

otro y 60º en el ángulo que forman entre ambos. Calcula cuánto mide el perímetro de la valla.

Soluciones 

b) Otro caso de teorema del seno, pues tenemos una pareja ángulo/lado

opuesto completa, y algún otro dato suelto. Empezamos calculando

el ángulo que está frente al lado que mide 12:

15/sen92 = 12/senB

15/0,99 = 12/senB

senB = 12/15,15

Cajón de Ciencias

c)

Siendo

a

el lado que nos falta. Si te fijas, la fórmula se parece un montón al teorema de Pitágoras,

sólo que con un añadido; esta “actualización” es la que nos permite usarla en triángulos no

rectángulos. La fórmula del teorema del coseno también debería recordarte a otra cosa. Intenta

pensar cuál antes de mirar la nota al pie de página

1

.

a2= 52+ 62– 2·5·6·cos70a261 – 60·0,34a2= 40,48

a = 6,36

Conociendo el lado opuesto, ya podemos usar el teorema del seno para hallar alguno de los ángulos

que aún no tenemos:

6,36/sen70 = 5/senB

6,36/0,94 = 5/senB

senB = 5/6,39

B = 51,54º

Y por lo tanto, C vale

C = 180 – 51,54 – 70 = 58,46º

B = 52,37º

Cajón de Ciencias

c)

Siendo

a

el lado que nos falta. Si te fijas, la fórmula se parece un montón al teorema de Pitágoras,

sólo que con un añadido; esta “actualización” es la que nos permite usarla en triángulos no

rectángulos. La fórmula del teorema del coseno también debería recordarte a otra cosa. Intenta

pensar cuál antes de mirar la nota al pie de página

1

.

a

2

= 5

2

+ 6

2

– 2·5·6·cos70

a

2

= 61 – 60·0,34

a

2

= 40,48

a = 6,36

Conociendo el lado opuesto, ya podemos usar el teorema del seno para hallar alguno de los ángulos

que aún no tenemos:

6,36/sen70 = 5/senB

6,36/0,94 = 5/senB

senB = 5/6,39

B = 51,54º

Y por lo tanto, C vale

C = 180 – 51,54 – 70 = 58,46º

d)

Y luego el teorema del seno:

43,42/sen110 = 25/senB

senB = 25/46,21 = 0,54

B = 32,76º

º

70º65

110º

25

28

Ahora no nos vale el teorema del seno, porque no tenemos una

pareja de ángulo/lado opuesto. Para estos casos, en los que

conocemos dos lados y el ángulo del vértice que forman, usamos el

teorema del coseno:

a2=b2+ c2- 2bc·cosA 

C = 180 – 110 – 32,76 = 37,24º

Resolviendo la ley de los senos

Ley de los senos y Cosenos

  Ley de los Senos

 

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo y lo usaremos para definir las  funciones seno y coseno.

En un triángulo rectángulo, el seno (abreviado como sen o sin) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.

sen α = cos β = |BC| / |AB| = |BC| / 1 = |BC| = a

Para cualquier triangulo se verifica el Teorema del seno que demuestra que: «Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»:

 

Ley de los Cosenos 

El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

Si usamos una circunferencia unitaria (con radio igual a uno), entonces la hipotenusa, AB, del triángulo se hace 1, por lo que las relaciones quedan

 cos α = sen β = |AC| / |AB| = |AC| / 1 = |AC| = b

Para cualquier triangulo se verifica el Teorema del coseno que demuestra que: «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»:

           

a² = b² + c² − 2bc * cos(A)

b² = a² + c² − 2ac * cos(B) 

c² = a² + b² − 2ab * cos(C)

Ejercicios de identidades Trigonometricas

1Relación seno coseno

cos² α + sen² α = 1

2Relación secante tangente

sec² α = 1 + tg² α

3Relación cosecante cotangente

cosec² α = 1 + cotg² α

tg α = 2, y que  180º < α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

2 Sabiendo que sen α = 3/5, y que  90º <α <180°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

Identidades Trigonometricas

Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones matemay es válida para toticas dos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones 

cos² α + sen² α = 1

sec² α = 1 + tg² α

cosec² α = 1 + cotg² α

Sabiendo que sen α = 3/5, y que  90º <α <180°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

Sabiendo que tg α = 2, y que  180º < α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

razones trigonometricas

Para las Funciones Trigonométricas, 

haremos uso del Teorema de Pitágoras y trabajaremos con las Funciones

de Seno, Coseno y Tangente, y sus inversas, además de apoyarnos

siempre con la Calculadora.

    Funcion seno




Funcion coseno

Problemas Trigonometricos

1 Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos:

1 3 rad
22π/5rad.
33π/10 rad.

2 Expresa en radianes los siguientes ángulos:

1316°
2 10°
3 127º

3 Sabiendo que cos α = ¼ , y que  270º <α <360°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

4 Sabiendo que tg α = 2, y que  180º < α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

5 Sabiendo que sec α = 2, 0< α < /2, calcular las restantes razones trigonométricas.

6 Calcula las razones de los siguientes ángulos:

1225°
2 330°
3 2655°
4 −840º

7 Comprobar las identidades:

1
2
3
4
5




   


RESPUESTAS
3 rad

2 2π/5rad.

3 3π/10 rad.

Particularidades de las razones trigonometricas

 Valores de las funciones trigonometrías

La trigonometría es una rama de las matemáticas de antiguo origen, cuyo significado etimológico es "la medición de los triángulos". Se deriva del vocablo ← griego τριγωνο <trigōno> "triángulo" + μετρον <metron> "medida".[1]
La trigonometría en principio es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos. En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.
Unidades angulares
Razones Trigonométricas Recíprocas
Se definen la cosecante, la secante y la cotangente, como las razones recíprocas al seno, coseno y tangente, del siguiente modo:

• cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón recíproca de seno, o también su inverso multiplicativo:

• secante: (abreviado como sec) es la razón recíproca de coseno, o también su inverso multiplicativo:

• cotangente: (abreviado como cot o cta) es la razón recíproca de la tangente, o también su inverso multiplicativo:

Reseña historica de la trigonometria

El estudio de la Trigonometría lo inició Hiparco 150 años a. C. pero su historia se remonta a los egipcios y babilonios, primeros en medir ángulos.

Hiparco es considerado el padre de la Trigonometría por sus contribuciones tales como determinar la duración del año solar en 365 días y 6 horas, sentar las bases de la trigonometría, realizar el primer catálogo de estrellas (800) e inventar el primer astrolabio.

Tolomeo prosiguió los estudiosde Hiparco. Ordenó los conocimientos de los griegos sobre astronomía, afirma que la tierra es redonda, y entre otras cosas realizó cálculos astronómicos sin utilizar las funciones trigonométricas.

A principios del siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje. A mediados de éste siglo Isaac Newton, utilizando series infinitas, encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x.

Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler encontró la relación entre las propiedades trigonométricas y los números complejos. 

Determinacion de Volumen

1.	A un tanque que tiene la forma de un cono circular recto invertido de 4 mts. de radio y 16 mts. de altura entra agua a una razón determinada.Expresar el volumen de agua en un instante dado: a. En función de la altura h. b. En función del radio de la base x.

Solución.
En la figura aparece el cono con las dimensiones dadas y una porción del volumen en el instante determinado.

El volumen del agua en el instante determinado viene dado por:
 

1 Calcula el volumen, en centímetros cúbicos, de una habitación que tiene 5 m de largo, 40 dm de ancho y 2500 mm de alto.

 

2 Una piscina tiene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1.5 m de profundidad. Se pinta la piscina a razón de 6 € el metro cuadrado.

1 Cuánto costará pintarla.
2 Cuántos litros de agua serán necesarios para llenarla.