Problemas de la ley de cosenos

2)

Desde lo alto de un globo se observa un pueblo A con un ángulo de 50º, y otro B, situado al otro

lado y en línea recta, con un ángulo de 60º. Sabiendo que el globo se encuentra a una distancia de 6

kilómetros del pueblo A y a 4 del pueblo B, calcula la distancia entre los pueblos A y B.

3)

Los flancos de un triángulo forman un ángulo de 80º con la base. Si el triángulo tiene 30

centímetros de base, calcula la longitud de sus lados.

4)

Tres amigos se sitúan en un campo de fútbol. Entre Alberto y Berto hay 25 metros, y entre Berto

y Camilo, 12 metros. El ángulo formado en la esquina de Camilo es de 20º. Calcula la distancia

entre Alberto y Camilo.

5)

Una valla cuyo perímetro tiene forma triangular mide 20 metros en su lado mayor, 6 metros en

otro y 60º en el ángulo que forman entre ambos. Calcula cuánto mide el perímetro de la valla.

Soluciones 

b) Otro caso de teorema del seno, pues tenemos una pareja ángulo/lado

opuesto completa, y algún otro dato suelto. Empezamos calculando

el ángulo que está frente al lado que mide 12:

15/sen92 = 12/senB

15/0,99 = 12/senB

senB = 12/15,15

Cajón de Ciencias

c)

Siendo

a

el lado que nos falta. Si te fijas, la fórmula se parece un montón al teorema de Pitágoras,

sólo que con un añadido; esta “actualización” es la que nos permite usarla en triángulos no

rectángulos. La fórmula del teorema del coseno también debería recordarte a otra cosa. Intenta

pensar cuál antes de mirar la nota al pie de página

1

.

a2= 52+ 62– 2·5·6·cos70a261 – 60·0,34a2= 40,48

a = 6,36

Conociendo el lado opuesto, ya podemos usar el teorema del seno para hallar alguno de los ángulos

que aún no tenemos:

6,36/sen70 = 5/senB

6,36/0,94 = 5/senB

senB = 5/6,39

B = 51,54º

Y por lo tanto, C vale

C = 180 – 51,54 – 70 = 58,46º

B = 52,37º

Cajón de Ciencias

c)

Siendo

a

el lado que nos falta. Si te fijas, la fórmula se parece un montón al teorema de Pitágoras,

sólo que con un añadido; esta “actualización” es la que nos permite usarla en triángulos no

rectángulos. La fórmula del teorema del coseno también debería recordarte a otra cosa. Intenta

pensar cuál antes de mirar la nota al pie de página

1

.

a

2

= 5

2

+ 6

2

– 2·5·6·cos70

a

2

= 61 – 60·0,34

a

2

= 40,48

a = 6,36

Conociendo el lado opuesto, ya podemos usar el teorema del seno para hallar alguno de los ángulos

que aún no tenemos:

6,36/sen70 = 5/senB

6,36/0,94 = 5/senB

senB = 5/6,39

B = 51,54º

Y por lo tanto, C vale

C = 180 – 51,54 – 70 = 58,46º

d)

Y luego el teorema del seno:

43,42/sen110 = 25/senB

senB = 25/46,21 = 0,54

B = 32,76º

º

70º65

110º

25

28

Ahora no nos vale el teorema del seno, porque no tenemos una

pareja de ángulo/lado opuesto. Para estos casos, en los que

conocemos dos lados y el ángulo del vértice que forman, usamos el

teorema del coseno:

a2=b2+ c2- 2bc·cosA 

C = 180 – 110 – 32,76 = 37,24º