Problemas de la ley de cosenos

2)

Desde lo alto de un globo se observa un pueblo A con un ángulo de 50º, y otro B, situado al otro

lado y en línea recta, con un ángulo de 60º. Sabiendo que el globo se encuentra a una distancia de 6

kilómetros del pueblo A y a 4 del pueblo B, calcula la distancia entre los pueblos A y B.

3)

Los flancos de un triángulo forman un ángulo de 80º con la base. Si el triángulo tiene 30

centímetros de base, calcula la longitud de sus lados.

4)

Tres amigos se sitúan en un campo de fútbol. Entre Alberto y Berto hay 25 metros, y entre Berto

y Camilo, 12 metros. El ángulo formado en la esquina de Camilo es de 20º. Calcula la distancia

entre Alberto y Camilo.

5)

Una valla cuyo perímetro tiene forma triangular mide 20 metros en su lado mayor, 6 metros en

otro y 60º en el ángulo que forman entre ambos. Calcula cuánto mide el perímetro de la valla.

Soluciones 

b) Otro caso de teorema del seno, pues tenemos una pareja ángulo/lado

opuesto completa, y algún otro dato suelto. Empezamos calculando

el ángulo que está frente al lado que mide 12:

15/sen92 = 12/senB

15/0,99 = 12/senB

senB = 12/15,15

Cajón de Ciencias

c)

Siendo

a

el lado que nos falta. Si te fijas, la fórmula se parece un montón al teorema de Pitágoras,

sólo que con un añadido; esta “actualización” es la que nos permite usarla en triángulos no

rectángulos. La fórmula del teorema del coseno también debería recordarte a otra cosa. Intenta

pensar cuál antes de mirar la nota al pie de página

1

.

a2= 52+ 62– 2·5·6·cos70a261 – 60·0,34a2= 40,48

a = 6,36

Conociendo el lado opuesto, ya podemos usar el teorema del seno para hallar alguno de los ángulos

que aún no tenemos:

6,36/sen70 = 5/senB

6,36/0,94 = 5/senB

senB = 5/6,39

B = 51,54º

Y por lo tanto, C vale

C = 180 – 51,54 – 70 = 58,46º

B = 52,37º

Cajón de Ciencias

c)

Siendo

a

el lado que nos falta. Si te fijas, la fórmula se parece un montón al teorema de Pitágoras,

sólo que con un añadido; esta “actualización” es la que nos permite usarla en triángulos no

rectángulos. La fórmula del teorema del coseno también debería recordarte a otra cosa. Intenta

pensar cuál antes de mirar la nota al pie de página

1

.

a

2

= 5

2

+ 6

2

– 2·5·6·cos70

a

2

= 61 – 60·0,34

a

2

= 40,48

a = 6,36

Conociendo el lado opuesto, ya podemos usar el teorema del seno para hallar alguno de los ángulos

que aún no tenemos:

6,36/sen70 = 5/senB

6,36/0,94 = 5/senB

senB = 5/6,39

B = 51,54º

Y por lo tanto, C vale

C = 180 – 51,54 – 70 = 58,46º

d)

Y luego el teorema del seno:

43,42/sen110 = 25/senB

senB = 25/46,21 = 0,54

B = 32,76º

º

70º65

110º

25

28

Ahora no nos vale el teorema del seno, porque no tenemos una

pareja de ángulo/lado opuesto. Para estos casos, en los que

conocemos dos lados y el ángulo del vértice que forman, usamos el

teorema del coseno:

a2=b2+ c2- 2bc·cosA 

C = 180 – 110 – 32,76 = 37,24º

Resolviendo la ley de los senos

Ley de los senos y Cosenos

  Ley de los Senos

 

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo y lo usaremos para definir las  funciones seno y coseno.

En un triángulo rectángulo, el seno (abreviado como sen o sin) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.

sen α = cos β = |BC| / |AB| = |BC| / 1 = |BC| = a

Para cualquier triangulo se verifica el Teorema del seno que demuestra que: «Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»:

 

Ley de los Cosenos 

El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

Si usamos una circunferencia unitaria (con radio igual a uno), entonces la hipotenusa, AB, del triángulo se hace 1, por lo que las relaciones quedan

 cos α = sen β = |AC| / |AB| = |AC| / 1 = |AC| = b

Para cualquier triangulo se verifica el Teorema del coseno que demuestra que: «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»:

           

a² = b² + c² − 2bc * cos(A)

b² = a² + c² − 2ac * cos(B) 

c² = a² + b² − 2ab * cos(C)

Ejercicios de identidades Trigonometricas

1Relación seno coseno

cos² α + sen² α = 1

2Relación secante tangente

sec² α = 1 + tg² α

3Relación cosecante cotangente

cosec² α = 1 + cotg² α

tg α = 2, y que  180º < α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

2 Sabiendo que sen α = 3/5, y que  90º <α <180°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

Identidades Trigonometricas

Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones matemay es válida para toticas dos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones 

cos² α + sen² α = 1

sec² α = 1 + tg² α

cosec² α = 1 + cotg² α

Sabiendo que sen α = 3/5, y que  90º <α <180°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

Sabiendo que tg α = 2, y que  180º < α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

razones trigonometricas

Para las Funciones Trigonométricas, 

haremos uso del Teorema de Pitágoras y trabajaremos con las Funciones

de Seno, Coseno y Tangente, y sus inversas, además de apoyarnos

siempre con la Calculadora.

    Funcion seno




Funcion coseno

Problemas Trigonometricos

1 Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos:

1 3 rad
22π/5rad.
33π/10 rad.

2 Expresa en radianes los siguientes ángulos:

1316°
2 10°
3 127º

3 Sabiendo que cos α = ¼ , y que  270º <α <360°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

4 Sabiendo que tg α = 2, y que  180º < α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

5 Sabiendo que sec α = 2, 0< α < /2, calcular las restantes razones trigonométricas.

6 Calcula las razones de los siguientes ángulos:

1225°
2 330°
3 2655°
4 −840º

7 Comprobar las identidades:

1
2
3
4
5




   


RESPUESTAS
3 rad

2 2π/5rad.

3 3π/10 rad.

Particularidades de las razones trigonometricas

 Valores de las funciones trigonometrías

La trigonometría es una rama de las matemáticas de antiguo origen, cuyo significado etimológico es "la medición de los triángulos". Se deriva del vocablo ← griego τριγωνο <trigōno> "triángulo" + μετρον <metron> "medida".[1]
La trigonometría en principio es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos. En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.
Unidades angulares
Razones Trigonométricas Recíprocas
Se definen la cosecante, la secante y la cotangente, como las razones recíprocas al seno, coseno y tangente, del siguiente modo:

• cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón recíproca de seno, o también su inverso multiplicativo:

• secante: (abreviado como sec) es la razón recíproca de coseno, o también su inverso multiplicativo:

• cotangente: (abreviado como cot o cta) es la razón recíproca de la tangente, o también su inverso multiplicativo:

Reseña historica de la trigonometria

El estudio de la Trigonometría lo inició Hiparco 150 años a. C. pero su historia se remonta a los egipcios y babilonios, primeros en medir ángulos.

Hiparco es considerado el padre de la Trigonometría por sus contribuciones tales como determinar la duración del año solar en 365 días y 6 horas, sentar las bases de la trigonometría, realizar el primer catálogo de estrellas (800) e inventar el primer astrolabio.

Tolomeo prosiguió los estudiosde Hiparco. Ordenó los conocimientos de los griegos sobre astronomía, afirma que la tierra es redonda, y entre otras cosas realizó cálculos astronómicos sin utilizar las funciones trigonométricas.

A principios del siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje. A mediados de éste siglo Isaac Newton, utilizando series infinitas, encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x.

Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler encontró la relación entre las propiedades trigonométricas y los números complejos.