Teorema 1.
La suma de los ángulos de cualquier triángulo e menor de 2d.
Examinemos primeramente eL triángulo rectángulo ABC (figura 30). Sus lados
a
,
b
,
c
se exponen, respectivamente, en forma de un segmento de la perpendicular
euclidiana a la recta
u
, de un arco de la circunferencia euclidiana con el centro
M
y de un arco de la circunferencia euclidiana con el centro
N
. El ángulo
C
es recto. El ángulo
A
es igual al ángulo entre las tangentes de las circunferencias
b
y
c
en el punto
A
o, lo que es lo mismo, al ángulo entre los radios
NA
y
MA
de estas circunferencias. Por último,
∠
B = ∠ BNM.
Figura 30
Construyamos en el segmento
BM
, como en el diámetro, la circunferencia euclidiana
q
; ésta tiene sólo un punto común
B
con la circunferencia
c
, pues su diámetro es el radio de dicha circunferencia. Por esto el punto
A
se encuentra fuera del círculo limitado por la circunferencia
q
y, por consiguiente,
∠
A
= ∠
MAN
< ∠
MBN
.
De aquí, en virtud de la igualdad ∠
MBN
+ ∠
B
=
d
, tenemos:
∠
A
+ ∠
B
<
d
; (9)
por eso ∠
A
+ ∠
B
+ ∠
C
< 2
d
, que es lo que se quería demostrar. Señalaremos que, con ayuda del
correspondiente movimiento hiperbólico, cualquier triángulo rectángulo se puede
situar de tal manera que uno de sus catetos pertenezca a la perpendicular
euclidiana a la recta
u
; de esta manera, el método de deducción de la desigualdad (9) que utilizamos
es aplicable a cualquier triángulo rectángulo.
Si se trata de un triángulo oblicuángulo, se divide éste mediante una de sus
alturas en dos triángulos rectángulos. La suma de los ángulos agudos de estos
triángulos rectángulos es igual a la suma de los ángulos del triángulo
oblicuángulo dado. De aquí, tomando en consideración la desigualdad (9), se
deduce que el teorema es válido para cualquier triángulo.
Teorema 2
. La
suma de los ángulos del cuadrilátero es menor de 4d.
Para la demostración es suficiente dividir diagonalmente el cuadrilátero en dos
triángulos.
Teorema 3
.
Dos rectas divergentes tienen una, y solamente una, perpendicular común
Supongamos que una de las rectas divergentes dadas se expone en la carta
τ
en forma de la perpendicular euclidiana
p
a la recta
u
en el punto
M
, la otra se expone en forma de la semicircunferencia euclidiana
q
con el centro en
u
y, además,
p
y
q
no tienen puntos comunes (figura 31).
Figura 31
Semejante disposición de dos rectas hiperbólicas divergentes en la carta
τ
siempre puede ser alcanzada mediante el correspondiente movimiento hiperbólico.
Tracemos desde
M
la tangente euclidiana
MM
a
q
y, con el radio
MN
, describamos desde el centro
M
la semicircunferencia
m
. Es obvio que
m
es una recta hiperbólica que corta tanto
p
como
q
en un ángulo recto. Por consiguiente,
m
representa en la carta la perpendicular común a las rectas divergentes dadas,
que es la que buscamos. Dos rectas divergentes no pueden tener dos
perpendiculares comunes pues, de lo contrario, existiría un cuadrilátero con
cuatro ángulos rectos, cosa que contradice al teorema 2.
Teorema 4.
La proyección rectangular del lado de un ángulo agudo sobre el otro lado es
unsegmento (y no una semirrecta como lo es en la geometría de Euclides).
Figura 32
La justeza del teorema es evidente de la figura 32, donde el segmento
AB
es la proyección rectangular del lado
AB
del ángulo agudo
BAC
sobre su lado
AC
.
En esta misma figura, el arco
DE
de la circunferencia euclidiana con el centro en
M
es la perpendicular a la recta hiperbólica
AC
. Esta perpendicular no se corta con la oblicua
AB
. Por lo tanto, la suposición que la perpendicular y la oblicua a una misma
recta siempre se cortan contradice al axioma del paralelismo de Lobachevski, y
es equivalente al axioma del paralelismo de Euclides.
Teorema 5
.
Si los tres ángulos del triángulo ABC son iguales, respectivamente, a los
tresángulos del triángulo A'B'C', dichos triángulos son iguales.
Admitamos lo contrario y tracemos respectivamente en los rayos
AB
y
AC
los segmentos
AB
1
=
A'B
',
AC
1
=
A'C'
. Es evidente que los triángulos
AB
1
C
1
y
A'B'C'
son iguales por dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. El punto
B
1
no coincide con
B
, el punto
C
1
no coincide con
C
, ya que en cualquier de estos casos tendría lugar la igualdad de los
triángulos dados, cosa que contradice a lo admitido.
Figuras 33 y 34
Examinemos las posibilidades siguientes.
-
El punto
B
1
se encuentra entre
A
y
B
, y
C
1
se encuentra entre
A
y
C
(figura 33; en esta figura, y también en la siguiente, las recias
hiperbólicasse exponen convencionalmente en forma de rectas euclidianas). No es
difícilconvencerse que la suma de los ángulos del cuadrilátero
BCC
1
B
1
es igual a 4
d
, cosa imposible en virtud del teorema 2.
-
El punto
B
1
se encuentra entre
A
y
B
, y
C
se encuentra entre
A
y
C
1
(figura 34). Designemos por D el punto de intersección de los segmentos
BC
y
B
1
C
1
. Puesto que ∠
C
= ∠
C
' y ∠
C
'= ∠
C
1
, resulta que ∠
C
= lo que es imposible, ya que el ángulo
C
es externo respecto al triángulo
CC
1
D
De manera análoga se enfocan también otros casos posibles.
El teorema ha sido demostrado pues la admisión que hicimos nos condujo a una
contradicción.
Del teorema 5 se deduce que en la geometría de Lobachevski no existe un
triángulo semejante al triángulo dado que no sea igual a éste.
